函数变换：平移、对称与伸缩

什么是函数变换？

函数变换是一组系统性规则，通过平移、对称、拉伸或压缩来改变函数 $y = f(x)$ 的图像。掌握变换规则后，你无需逐点描绘每个新函数，只需从已知的基本函数（母函数）出发，应用变换即可快速得到新图形。

这是高中数学中最强大的技巧之一——它将函数作图从繁琐的计算转变为优雅的规律识别。

学习目标：学完本指南后，你应该能够：

1. 对任意函数图像进行上下和左右平移。
2. 进行关于 x 轴和 y 轴的对称变换。
3. 进行纵向和横向的拉伸与压缩变换。
4. 按正确的顺序组合多个变换。

四大变换类型

1. 平移变换

平移将整个图像移动，但不改变其形状。

反直觉规律：$f(x + a)$ 使图像向左移，而非向右。可以理解为：函数在 x 轴上提前 $a$ 个单位就达到了相同的值。

2. 对称变换

3. 伸缩变换

又一个反直觉规律：$f(2x)$ 使图像变窄（横向压缩），而不是变宽。系数越大，图像在水平方向越紧凑。

4. 复合变换

当多个变换叠加时，顺序至关重要。一般形式为：

其中：

• $a$ = 纵向伸缩和翻转
• $b$ = 横向伸缩和翻转
• $h$ = 水平平移
• $k$ = 垂直平移

推荐顺序：先做括号内的操作（水平变换），再做括号外的操作（垂直变换）。

典型例题

例题 1：描述变换

题目： $y = x^2$ 的图像被变换为 $y = (x - 3)^2 + 2$，请描述该变换。

解答： 对照 $y = f(x - h) + k$ 的形式，可识别出 $h = 3$，$k = 2$。

图像向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位。顶点从 $(0, 0)$ 移动到 $(3, 2)$。

例题 2：求变换后的方程

题目： $y = \sin x$ 的图像先关于 x 轴对称，然后纵向拉伸 3 倍。写出新图像的方程。

步骤 1： 关于 x 轴对称：$y = -\sin x$

步骤 2： 纵向拉伸 3 倍：$y = 3(-\sin x) = -3\sin x$

答案： $y = -3\sin x$

常见错误

1. 水平变换方向搞反 —— $f(x + 2)$ 是向左移，不是向右。$f(x - 2)$ 是向右移，不是向左。口诀：「左加右减」。
2. 复合变换顺序错误 —— 始终先执行括号内的变换（水平），再执行括号外的变换（垂直）。
3. 横向伸缩系数倒置 —— $f(2x)$ 是横向压缩为原来的 $\frac{1}{2}$，不是拉伸 2 倍。

考试技巧（高考 / AP / IB / A-Level）

• 当题目要求「描述变换」时，务必写明变换类型（平移/对称/伸缩）和具体细节（方向、距离、倍数、对称轴）。
• 可以用向量表示平移：平移向量 $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ 表示向右 3、向下 2。
• 验算方法：代入原函数上的一个已知点，检验它是否被正确映射到变换后的图上。

常见问题

变换的顺序总是重要吗？

不总是——两个平移变换或两个关于不同轴的对称变换可以交换顺序。但平移与伸缩、平移与对称混合时，顺序确实有影响。如果不确定，遵循原则：先水平后垂直。

三角函数的变换怎么处理？

规则完全相同。对于 $y = A\sin(B(x - C)) + D$：$A$ 是振幅（纵向伸缩），$B$ 影响周期（$\text{周期} = \frac{2\pi}{B}$），$C$ 是相位移动，$D$ 是垂直平移。

相关主题

• 三角函数图像 —— 了解变换如何影响正弦和余弦曲线的形状与位置。
• 导数的极限定义 —— 理解变换如何影响函数的导数。
• 圆锥曲线 —— 用平移变换来移动圆、椭圆和抛物线的位置。