导数的极限定义：从第一性原理出发

什么是导数？

函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的导数衡量的是 $f$ 在该点的瞬时变化率。从几何上看，它给出的是曲线在 $(a, f(a))$ 处的切线斜率。

核心思想是：先计算一个区间上的平均变化率，然后让这个区间趋向于零。

学习目标：学完本指南后，你应该能够：

解释极限的概念及其与导数的关系。

用第一性原理（极限定义）对简单函数求导。

将导数解读为变化率和切线斜率。

识别函数在某点不可导的情形。

$f(x)$ 的导数定义为：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

表达式 $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ 是差商——通过 $(x, f(x))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 两点的割线斜率。

当 $h \to 0$ 时，割线绕切点旋转，趋向切线位置，差商趋向导数。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}

= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x

因此 $y = x^2$ 在任意点 $x$ 处的斜率为 $2x$ 。在 $x = 3$ 处，切线斜率为 $6$ 。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h \cdot x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}

乘以共轭表达式 $\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$ ：

= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

第一性原理方法推导出了标准的求导公式：

一旦这些公式被证明，你就可以直接使用，无需每次都从极限重新推导。

函数在以下情况下不可导：

可以——前提是它已经被证明了！但理解极限定义是必要的，因为它是所有求导公式的根基。考试中也会专门考察这一基本理解。

可导蕴含连续：如果 $f'(a)$ 存在，那么 $f$ 在 $a$ 处一定连续。但连续不蕴含可导—— $|x|$ 处处连续，但在 $x = 0$ 处不可导。